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- les 3 formes du OU, 1, 2,
- La logique s'accompagne d'une algèbre constuite sur un espace vectoriel ou un anneau
Théorie de la coordination
- Z2
- L'algèbre de Boole, aujourd'hui, c'est la bonne écriture pour la Théorie de la coordination,
, 
, 
,- a,
, 
, A, S, S1, S2, L, - fonts Lcan(zip)
- La logique s'accompagne d'une algèbre constuite sur un espace vectoriel ou sur un anneau
- affirmation, la proposition, empirique,
- apophantique chez Aristote ça veut dire les énoncés constatifs, suite ...
- Boole veut faire une nouvelle arithmétique, et écrire la syllogistique d'Aristote et la faire rentrer dans le calcul des Prédicats quantifiés S1 T1
- Boole permet de ne plus faire d'initiations ( l'initiation est le fait de faite entrer les idéaux d'une société dans le corps, par les orifices). Les mathématiques sont enseignables grâce à Cantor. - JMV02022011, l'initiation
Lacan réduit la psychanalyse à la Théorie des ensembles, JMV16062015,
- Voir George Peacock.
- S2 T2 (Système ou syntaxe, Théorie)
- les connecteurs ¬ , ∧,∨, ⇔,
- ou calcul des propositions,
-Théorie de la vérifonctionnalité et algèbre de Boole, ou S2 T2
- Lukazievitch a parlé du Calcul des propositions, en nommant ce calcul par les objets de ce calcul, au lieu de l’appeler comme je propose de le faire Calcul de la coordination, en nommant ce calcul par les transformations, les opérations qu’il fait , qu’il accomplit, voyez on passe de la coordination à la proposition en s’intéressant à ce qui est coordonné, par la coordination, vous avez deux types d’objets, comme toujours en mathématiques, c’est ce qui va donner les catégories, vous avez les objets et les flèches, alors ça peut être un couple d’objet, des couples d’objets, vous pouvez faire correspondre par une flèche, une connexion, et il y aura un connecteur qui va connecter les deux lettres, v12.03, et la négation c’est un connecteur binaire par exemple, à un objet on fait correspondre un autre objet par une flèche, on voit bien que les connecteurs sont de l’ordre des flèches, et que les propositions sont de l’ordre des objets,
- les connecteurs ∀, ∃, (quel que soit, et Il existe)
- les prédicats ce sont les fonctions propositionnelles, ou les concepts, voir Boole et Frege
-Théorie de la kantification des prédicats du premier ordre, ou S1 T1
- le calcul en question des propositions traite de la coordination des propositions, et principalement à cette occasion de la théorie de la vérifonctionnalité,
- Boole veut y faire entrer la syllogistique d'Aristote
- (S1 T1) mon,
- La syllogistique d'Aristote
Classe
≡
Ensemble
- Les classes sont ausi appelées ensembles. Une branche spéculative des mathématiques appelée théorie des ensembles est issue de l'oeuvre de Cantor. Elle s'occupe des problèmes de l'infini et traite des classes dans une perspective réaliste qui ne peut en aucun cas en être écartée comme une simple façon de parler à l'instar de l'algèbre booléienne des classes. Le terme "ensemble" tend à être préféré à celui de "classe", exception faite d'un certain contexte technique où la double terminologie est utilisée pour marquer une distinction particulière.
Dans les mathématiques modernes des "classes secondaires", la dénomination élargie de théorie des ensembles est confusément appliquée à l'autre extémité de l'échelle : à l'algèbre booléienne des classes, donc en réalité à la simple logique des termes généraux.in Méthode de Logique, Quine.
La notion de Classe est une notion subordonnée çà celle de proposition, et même à celle de fonction.
Le Calcul des classes pour Louis Couturat correspond au Calcul des Prédicats, pour Gérard Chazal,
- ou fonction propositionnelle, ou prédicat,
- Boole en s’inspirant du calcul des probabilités, c’est un tour de force du point de vue de l’écriture, il va introduire une écriture de la Logique pour la Syllogistique d’Aristote, et la manière dont il écrit les concepts de la Philosophie, ou les fonctions propositionnelles tel que Frege propose de les appeler, Frege avait la notion que c’était un geste grave que d’appeler fonction propositionnelle les concepts, il a écrit 5 articles pour essayer de s’expliquer lui-même, avec lui-même pourquoi c’était judicieux de parler de fonction, de concept, d’objet, on peut les appeler concepts les fonctions propositionnelles, ce qu’il va montrer c’est que les fonctions propositionnelles ce sont les concepts ou bien ce que vous pouvez appeler depuis Kant on retient le mot de prédicat pour parler des concepts, curieusement on oublie qu’il y avait un concept sujet et un concept prédicat, dans cette écriture il y a deux concepts, ici, il y en a deux, les Grecs et ceux qui sont mortels
- les relation entre les objets
- dans le Système d’écriture des prédicats quantifiés, il y a aussi une autre coordination qui est la coordination des concepts, ou des prédicats, ce sont des concepts, en philosophie, mais on les appelle depuis Kant surtout, on parle de prédicat, au lieu de retenir le concept sujet et le concept prédicat dans les énoncés catégoriques d’Aristote, on maintenu le mot prédicat pour parler des concepts
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- système d'écriture
aristotélicien
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-si vous choisissez une origine, un point, un espace affine pointé devient un espace vectoriel, c’est iintéressant car un groupoïde pointé devient un groupe, si on fixe un élément ou si on choisit un élément fixe, l’écriture devient beaucoup plus facile,
- un espace affine pointé devient un espace vectoriel. La structure linéaire la plus connue c’est pas l’algèbre qui est faite sur un anneau, c’est l’espace vectoriel, les combinaisons linéaires vous pouvez trouver ça dans les cours de seconde de première et de terminal des Lycées, où on enseigne la géométrie grâce à la structure de l’espace vectoriel, c’est les espaces affine, et dans les espaces affines on peut fabriquer une espace vectoriel, 10.26, le plan physique c’est un espace affine, mais si vous le pointez , si vous choisissez une origine, un point, un espace affine pointé devient un espace vectoriel, c’est i intéressant car un groupoïde pointé devient un groupe, si on fixe un élément ou si on choisit un élément fixe, l’écriture devient beaucoup plus facile,
Mais la notion de fonction est plus étendue que la notion mathématique.car comprenant des relations plus affirmées ou propositions telles que les équations.
En Mathématique, "sin x" est une fonction, et "sin x = 1" est une équation.
Mais en Logique, ces deux exprresssions sont des fonctions ! source CHZAL, p102,
Une fonction propostionnelle est une fonction logique qui, pour toute valeur attribuée à la variable(s) devient une propostition ! Une fonction propostionnelle est indéterminée, n'est pas une proposition, ni Vraie ni Fausse,. Ne devient proposition que lorsque qu'une valeur particulière est attribuée à sa variable(s).
- ce sont les concepts ou depuis Kant, les Prédicats, voir Boole et Frege
- Formalisation ,
- j’évite le mot forme, formel, formalisme, formalisation, qui sont à mon avis des façons pudiques et même parfois erronées, de dégouter tout le monde faire ces choses là, alors qu’on pourrait très bien parler d’écriture tout simplement, il faudrait reconnaitre que l’écriture et la parole c’est deux choses différentes, et il s’agit de systèmes d’écritures évidemment, que ces systèmes d’écritures V01 09.12, de la même manière que la physique peut retrouver que la physique mathématique peut s’imprimer dans le monde, et créer un monde recomposé, une anti-phusis, de la même manière les systèmes d’écritures s’impriment dans la langue et vont depuis l’écriture modifier la langue parlée, c’est de la grammaire, JMV16062015
- voir signe
- un groupoïde pointé devient un groupe
- groupe de transformation, ...Li, Lie...
- plongement c’est-à-dire qu’on met un objet dans un espace plus grand, et plongement ça veut dire que la transformation de l’objet initiale, le rond ou les ronds, on plonge dans l’espace la fonction mathématique qu’on emploie si elle est injective, si elle n’est pas injective, ça s’appelle pas un plongement, ça s’appelle une immersion.
- dans l’immersion, un point peut être l’image de deux points distincts, ça veut dire qu’on peut faire se traverser les cordes, puisqu’au moment de la traversée, au moment ou une corde traverse une autre corde, il y a une moment ou deux points se confondent dans le croisement, il n’y a plus un dessus dessous mais il y a un croisement immergé,
- voir injectif
Les mathématiques sont enseignables grâce à Cantor, sans les rites de l'initiation ... JMV16062015
Lacan réduit la psychanalyse à la Théorie des ensembles, si c'est exagéré, il écrit néanmoins les formules de la sexuation en Théorie des ensembles et il invent deux nouveaux quanteurs...
- JMV02022011, l'initiation
- La logique classique (non moldale) ne connait que le nécessaire et l'impossible, ce qui s'écrit et ce qui ne s'écrit pas,
- J’ai des craies, alors là je mets dans un rond des craies bleues, là je mets dans un rond les craies rouges, là les craies vertes, et ya pas d’intersection, yen a pas qui sont dans les deux ronds en même temps, c’est disjoint, c’est une partition ça s’appelle en math, 25 :54, là avec les craies blanches un autre rond, voyez je fais des petits ronds autour pour qu’ils soient bien séparés, ça s’appelle classification, c’est pour ça que ça s’appelle logique classique, la logique classique classifie,
Et c’est ça le concept, la logique du concept, JMV20110125
- L2T2, L1T1 (vérification et quantification) (Ps et Ics)
- schema L
- La logique s'accompagne d'une algèbre construite sur une espace vectoriel ou sur un anneau
- la logique c’est étudier les lois, de ce qu’on a appelé les Lois de la pensée, Quine dit ça comme ça, c’est les raisonnements valides,
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- La logique épistémique de Jaako Hintikka en 1962, dont quelques prémices viennent du Moyen Age, est une variété de la logique modale, qui intègre les notions de savoir et de croyance, et les propositions y sont qualifiées selon l'attitude propositionnelle de celui qui les énonce.
Elle distingue la connaissance au sens strict, " a sait que p " et la simple croyance " a croit que p ".
La logique épistémique trouve des applications entre autre dans les sciences cognitives et en informatique.
La logistique est la première logique formelle construite de façon strictement synthétique.
Soit : elle est la première logique qui monte méthodiquement du simple au complexe.
- La logique mathématique ou métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la fin du XIXe siècle, qui s'est donné comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage.
Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont les formules représentant les énoncés mathématiques, les dérivations ou démonstrations formelles représentant les raisonnements mathématiques et les sémantiques ou modèles ou interprétations dans des structures qui donnent un « sens » mathématique générique aux formules (et parfois même aux démonstrations) comme certains invariants : par exemple l'interprétation des formules du calcul des prédicats permet de leur affecter une valeur de vérité. source wikipedia,
- La logique modale introduit plus de deux valeurs (de vérité).
La logique classique ne connait que le nécessaire et l'impossible, ce qui s'écrit et ce qui ne s'écrit pas,
- La logique modale : Logique étendue, complémentaire de la logique standard, qui en renforce les possibililtés par l'ajout d'axiomes dont aucun ne contredit ceux de cette dernière.
La logique grecque avait introduit une théorie des modalités que les médiévaux ont prolongée, mais que les fondateurs de la logique moderne avaient délaissée, considérant qu'elle relevait de la théorie de la connaissance.
-logiques modales
- Les logiques modales modernes (aléthiques (relatives à la vérité), épistémiques (relatives à la croyance), et déontiques (relatives à ce qui est obligatoire ou permis)), sont nées en 1918, lorsque Clarence Irving Lewis a défni l'implication stricte en disant que p implique strictement q signifie qu'il n'est pas possible que p soit vraie et q fausse, donc que si p est vraie, q est nécessairement vraie.
L'implication stricte est un connecteur plus fort que le conditionnel. La logique modale affine donc l'opposition entre vrai et faux, en distinguant le nécessaire, le possible, le contingent, et l'impossible.
Le possible est ce dont la négation n'est pas nécessaire.
Le contingent est ce qui est possible mais dont la négation est également possible.
L'impossible est ce dont la négation est nécessaire.
Le nécessaire ? ( ce qui ne cesse de s'écrire)
Le nécessaire est vrai et l'impossible faux, mais le possible et le contingent peuvent être vrais ou faux.
Lukasiewicz propose en 1957 un système de logique modale, mais c'est Kripke en 1960 qui donne un traitement convaincant de la notion de nécessité, en généralisant l'idée leibnizienne selon laquelle est nécessaire ce qui est vrai dans tous les "mondes possibles". D'où de nouveaux systèmes de logique modale qui tous contiennent les théorèmes de la logique standard.
- la logique modifiée et la logique freudienne ça s’écrit exactement comme la logique classique, c’est de l’algèbre de Boole, il n’y a pas de différence, il y a une différence pour le lecteur, pour celui qui écrit, mais il n’y a pas de différence pour l’écriture, 31.29, c’est la même logique mais une feuille transparente la sépare de la logique classique ! ou l’inverse, la logique classique une page transparente la sépare de la logique modifiée, c’est dans doute pour ça que Freud a découvert comme ça cette logique, il ne faisait pas de la logique systématiquement, il lisait, il faisait de la littérature, il était un lecteur de littérature, mais il était aussi un neurologue et il savait ce qu’était un laboratoire, et l’écriture, vous n’avez qu’à voir l’Esquisse, il y a des Q n eta, des petites lettres,
Extrait du cours de J-M.Vappereau du mardi 10 septembre 2013, Paris,
- Logique des prédicats,
- Logique propositonnelle modale ....
-
Jusqu'à présent la logique était bivalente, avec deux valeurs de vérité, le vrai et le faux, pour qualifier la proposition. Mais il se peut qu'entre le vrai et la faux il y ait un état intermédiaire, vrai et faux.
C'est Lukaziewicz qui propose en 1920, une logique non bivalente dans ses travaux sur la logique aristitélicienne. Aristote dit qu'on ne peut rien dire sur une proposition qui porte sur le futur. Lukaziewicz introduit alors un troisième valeur 1/2, repésentant " le possible ".
Il reconstruit les tables de vérité des différents connecteurs, plus complexes que celle de la logique standard !
Une application en est la logique quantique de 1936, qui traite des anomalies logiques de la mécanique, en acceptant le principe du tiers exclu mais en rejetant le principe de bivalence.
Dans a logique trivalente forte de Kleene de 1952, la troisième valeur de vérité est l'indéterminé.
En 1975, Kripke choisit ce cadre pour construire un langage logique trivalent contenant son propre prédicat de vérité, et remettant en cause le résultat de Tarski pour la logique standard.
Le paradoxe du menteur ( je mens) se résoud autrement que par la différenciation des niveaux de langages, sa valeur de vérité devient l'indéterminé.
Le nombre des valeurs de vérité peut augmenter à loisir, et on peut construire des logiques multivalentes ou plurivalentes, de plus de trois valeurs de vérité, ce qui en élève la complexité.
Dans tous les cas les principes du tiers exclu et le principe de contradiction ne valent plus, non qu'ils soient tenus pour faux ou soient réfutables, mais tout simplement ils ne font pas partie des axiomes ou des théorèmes du système logique considéré.
- articulé autour du Théorème d'incomplétude de Goedel
- dans le secondaire, préconscient, prévalence des symboles et de l'écriture symbolique
- panorama,
- Langage Théorie, à noter qu'à partir de 2015, JMV préfère parler de Système d'écriture, ou de Syntaxe plutôt que de Langage, ce qui explique la notation S1T1, voir ci-dessous, à la lettre S,
S donne la construction des phrases, et T celle qu’il faut retenir comme étant des lois logiques
- C'est la quantification
- Boole veut y faire entrer la Syllogistique d'Aristote, et crée une nouvelle mathématique
- schema L, panorama,
- schema L , panorama,- c'est la vérifonctionnalité
- L3T3 rejoint L4T4 dans le schéma L pour fomer la Réalité psychique,
- schema L , panorama ,
- les catégories,
- panorama,
- L4T4 rejoint L3T3 dans le schéma L, pour donner "corps" à la Réalité psychique
- la mathématique ce n’est pas la puissance de la pensée, ça c’est pour les prétentieux, la mathématique, c’est introduire une nouvelle lettre dans un texte, à un endroit, de manière à pouvoir obtenir une solution qui n’est pas concevable, et qu’on ne peut pas écrire sans ce caractère supplémentaire. (Lacan SII)
- Le fantôme de la modalité, WEYL.H, Numdam,
- S3T3
- Logique modifiée, topologie du sujet,
- Un noeud logique est un plongement du noeud trivial (un cercle- voir ci-dessous) de la logique classique, dans la logique modifiée en topologie du sujet. Ce noeud reste dominé par la Loi de la Parole, l'impératif du dire ....
(voir noeud topologique)
-voir MP3 cours janvier février JMV 2015, et Textes, ; Et - juin 2015, argument.
- Un nœud logique c’est un plongement de la logique classique, que j’écris comme ça, c’est le nœud le plus simple que j’écris (0,1), on va appeler ça le nœud trivial, mais avec toute l’algèbre linéaire qui est booléenne, et qui se développe à partir de ce 0 et ce 1.Mais les deux termes, les deux constantes c’est 0 et 1. Donc c’est l’algèbre de Z2, Z c’est les deux classes d’équivalences, des nombres pairs et des nombres impairs, Z2, c’est modulo 2, c’est Z2, qui est égal à l’ensemble (0.1), muni d’une addition et d’une multiplication, et ça c’est une algèbre de Boole et c’est même un corps de Boole, c’est le seul corps de Boole, les corps ensuite si on prend les puissance de Z2, on va avoir les algèbres de Boole et pas des corps, et René Guitar a montré quand faisant ces extensions du corps de Boole, on obtenait des corps de Galois, qui sont liés aux algèbres de Boole, ce qui fait un très beau résultat, il fait un lien entre Boole et Galois, on ne va pas parler de ça, mais c’est quand même assez élégant à notre époque de voir que les deux grands algébristes de XIX siècles se trouvent comme ça en correspondance, c’est assez satisfaisant, pour le lecteur de découvrir qu’il y a un lien entre la logique , l’algèbre de la logique, l’algèbre de Boole et les corps de Galois de caractéristique 2, 35.19, ce qui fait que ça va pouvoir s’étendre dans ce qu’on va appeler les nœuds logiques non triviaux ... JMV20150602,
- les nœuds logiques ce sont des nœuds qui sont le plongement de la logique classique dans une logique plus vaste, dans une algèbre de Boole plus vaste, la logique modifiée et les nœuds logiques je vais, cette modification et ce plongement va se prolonger jusque dans le calcul des prédicats quantifiés, la quantification, la théorie des ensembles, mais c’est dans le calcul de la coordination que commence cette modification, suite ...
- Un noeud topologique est le plongement d'un ou de plusieurs cercles ( c'est alors une chaine), plongement c’est-à-dire qu’on met un objet dans un espace plus grand, et plongement ça veut dire que la transformation de l’objet initiale, le rond ou les ronds, on plonge dans l’espace la fonction mathématique qu’on emploie si elle est injective, si elle n’est pas injective, ça s’appelle pas un plongement, ça s’appelle une immersion.
-l’intérêt des nœuds c’est que on va frôler l’immersion tout le temps, mais on travail avec des nœuds plongés, des cercles plongés, des nœuds, qui valent comme plongement.
- Un noeud topologique est un plongement du noeud trivial. Le noeud trivial c'est le cercle trigonométrique défini de manière analytique sur le plan par l'équation à deux variables celui du " pont aux â,es" classique (x2 + y2 = 1), mais en abandonnant l'invariant euclidien de la mesure pour priviliégier la différence de la topologie définie par le couple : ocntinu ou discret : connexe ou non connexe (coupé). Ce noeud ...
(voir noeud logique)
- voir MP3 cours janvier février JMV 2015, et Textes, ; Et - juin 2015, argument.
-5, 6 , 7 ,
l 'implication
matérielle
- voir Quine, Méthode de logique, 2 eme et 3 eme chapitre
- dans le Système d’écriture des prédicats quantifiés, il y a aussi une autre coordination qui est la coordination des concepts, ou des prédicats, ce sont des concepts, en philosophie, mais on les appelle depuis Kant surtout, on parle de prédicat, au lieu de retenir le concept sujet et le concept prédicat dans les énoncés catégoriques d’Aristote, on maintenu le mot prédicat pour parler des concepts
- Tarski
- Calcul des propositions,
- Logique des propositions,
- chez Aristote elle exprime un jugement par lequel un attribut est donné à un sujet par l'intermédiaire de la copule "est" ou "sont", suivant le schéma :
Sujet <----------- Copule <------------Attribut ou prédicat
Les employés sont des exploités
. Un raisonnement prend la forme d'une suite de proposition enchainées,
- les objets
C'est par ce qu'il est arbitraire que le signe algébrique permet ce que C.Babbage appelle "une généralisation et une contraction" que l'on peut comprendre comme le fait de vouloir loger le maximum de signification dans le minimum d'espace signifiant.
Exemple de cette "généralisation contraction" : le symbole Ψ (x, 1) qui signifie, dit-il, "toute combinaison symétrique, quelle qu'elle soit de deux quantités inverses 1 et 1/x".
Comme langages (ou plutôt comme Systèmes d'écritures) la géométrie et l'algèbre apparaissent, la pemière comme une langage particulier, la seconde comme un langage universel. Se dessine alors cette idée que le rapport de l'algèbre à la géométrie n'est plus celui de méthodes déductive parrallèles où la seconde viendrait normer, etcontrôler la première, mais celui de l'universel à sa particularisation, de la démarche symbolique pure à son interprétation géométrique.. Ce couple de concepts, démarche symbolique pure et interprétation aura une importance capitale dans l'algèbre de la logique de G.Boole, dans (S1T1), après avoir été précisé par G.Peacock.
- articulé autour du Théorème d'incomplétude de Goedel
- dans le secondaire, préconscient, prévalence des symboles et de l'écriture symbolique
- panorama,
- le calcul des prédicats et des propositions ( théorie de la kantification des prédicat du premier ordre),
dont la Syllogistique d'Aristote dans le calcul des prédicats monadique (S1T1) mon.
S donne la construction des phrases, et T celle qu’il faut retenir comme étant des lois logiques
- C'est Boole qui crée une nouvelle mathématique pour faire entrer la Syllogistique dans le calcul des propositions, des concepts
- C'est la quantification
- panorama,
- c'est la vérifonctionnalité,
- panorama,
- panorama,
- Le conscient, Cs,
- la logistique, la théorie de la communication, le pragmatisme,
-, la structure linéaire la plus connue c’est pas l’algèbre qui est faite sur un anneau, c’est l’espace vectoriel, les combinaisons linéaires vous pouvez trouver ça dans les cours de seconde de première et de terminal des Lycées, où on enseigne la géométrie grâce à la structure de l’espace vectoriel, c’est les espaces affine, et dans les espaces affines on peut fabriquer une espace vectoriel, 10.26, le plan physique c’est un espace affine, mais si vous le pointez , si vous choisissez une origine, un point, un espace affine pointé devient un espace vectoriel, c’est i intéressant car un groupoïde pointé devient un groupe, si on fixe un élément ou si on choisit un élément fixe, l’écriture devient beaucoup plus facile,JMV16062015
syllogistique
- voir S1T1 et (S1T1)mon.
- Boole veut faire entrer la syllogistique d'Aristote dans S1T1, soit le calcul des prédicats quantifiés.
- on fabrique une syntaxe et ensuite on fabrique une théorie, on définit des axiomes et ensuite on va dire que parmi les phrases bien écrites de la syntaxe, celles qui sont nécessaires, les phrases qui sont nécessairement vraies, on appelle ça des thèses en logique, car la logique c’est étudier les lois, de ce qu’on a appelé les Lois de la pensée, Quine dit ça comme ça, c’est les raisonnements valides,
- Préconscient
- L0T0 ou S0T0, (0 = zéro)
- Préconscient
- les symboles,
- Badiou fonde avec la théorie des ensembles, l'ontologie et la philosophie platonicienne,
- Quine, 4 eme partie de Méthode de Logique
- schema L
- Conscient
- schema L
-S3T3, la modification, logique modifiée
-
Certains connecteurs logiques ne sont pas vérifonctionnels, comme parce que, donc. *,
- la théorie de la vérifonctionnalité, c’est comme ça que Quine le présente dans son ouvrage Méthode de logique, la vérifonctionnalité c’est la façon, la méthode qui permet de déterminer les tables de vérité en attribuant aux lettres qui sont des formules Vrai ou Faux, ou o ou 1, ou ⊥ ou T ( ou anti-tau ou Tau), Quine lui préfère ça, y a 0,1 ; ça peut être V, F ; plutôt F, V, ou bien tau ou anti tau, ou T ou ⊥, et le Tau vient du T de Thrue, vrai en anglais, Quine lui choisit ça, et donc on attribue ces valeurs aux lettres qui interviennent dans les expressions de cette logique,